七下期末复习——以平面直角坐标系为背景的综合运用(1) [尖子生之路2019版]
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七下期末复习——以平面直角坐标系为背景的综合运用(1)
【例1】如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(﹣1,0),(2,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)在y轴上是否存在一点M,使△MAB的面积等于平行四边形ABDC的面积的1/4?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)若点P在线段BD上运动(不与B,D重合),连接PC,PO,试探究△CDP与△BOP的面积和的取值范围;
(3)若点P在第一、四象限,且在直线BD上运动,请直接写出∠CPO,∠DCP,∠BOP的数量关系.
(4)若点P在y轴的负半轴上运动,连接PD交AB于点E.当S△PAE≥S△BDE时,求点P的纵坐标取值范围.
【图文解析】
(1)如下图,直接利用三角形面积与平行四边形面积公式求解:
由A(﹣10),B(2,0),得AB=3.
由平移,得C(0,2),D(3,2),得OC=2.
由△MAB的面积等于□ABDC的面积的1/4,得
S△MAB=0.5AB•OM=1/4×AB•OC=1/4×S平行四边形ABDC.
得OM=1/2×OC=1.
所以M(0,1)或(0,﹣1);
(2)如下图示,利用点的坐标特点,分别为OB和CD为三角形的底边表示面积.
过点P作PF⊥AB于F,交CD于E,显然有OB=2,CD=3.OC=2.
设PF=m,则PE=2-m,其中0<m<2.
由三角形面积公式,得
S阴=S△CDP+S△BOP=0.5OB×PF+0.5CD×PE=0.5×2m+0.5×3(2-m)=-0.5m+3.
由0<m<2,得2<-0.5m+3<3.即2<S△CDP+S△BOP<3.
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(3)①当点P在线段BD上时,如下图示,
∠CPO=∠DCP+∠BOP.
②当点P在BD延长线上时,如下图示,
∠POB=∠DCP+∠CPO;
③当点P在DB延长线上时,如下图示.
∠DCP=∠POB+∠CPO.
(4)如下图示.
直接利用已知条件求解,难度非常大,可进行下列转化:
由S△PAE≥S△BDE,得
S△PAE+S△ADE≥S△BDE+S△ADE.
即S△PAD≥S△ABD.
其中S△ABD=0.5×AB×OC=0.5×3×2=3.
而S△PAD可用下列方法求得(方法多种,仅提供一种)
S△PAD=S梯形APCQ+S△PCD-SAQD
=0.5×(2+2+t)×1+0.5×3×(2+t)-0.5×4×2
=2t+1.
由S△PAD≥S△ABD,得3>2t+1.解得t<1.
所以点P的纵坐标取值范围为-1<t<0.
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